大学物理2期中复习

#physics #electrostatics

说是复习，其实是第一遍学。这作为一篇简记记录了从零开始学习静电学的过程。主要记载了教材（交大的大学物理学第四版下册）中一些自己觉得重要的陈述、读的过程中差的各种信息、自己的形象理解。

真空中的静电场

电荷：某种程度上而言，带电的本质就是质子数量和电子数量不等导致的。
电荷守恒
电荷量子化
点电荷模型。可视为线度为 0。拓展：带电直线（横截面积为 0）、带电面（厚度为 0）
库仑定律：点电荷电场的电场强度规律。再利用电力叠加原理推出点电荷系的规、任意带电体的电场强度的规律

电场：作为媒介、传播速度有限

电场强度：电场的作用力角度定量描述，电场强度是一个矢量场。定义 vec E = vec f / q_0，这可以视作一个三维空间（如 R^3）到三维矢量（如 R^3）的映射（吗？），电场强度是反映点电荷在电场中受力的物理量，从另一个方向上来说，也可以通过点电荷的受力研究电场

现实生活中世界是三维，理解二维世界的物理规律（似乎）可以通过为所有地方赋予微小的厚度。后来补充：可以通过狄拉克函数直接将二维的电荷分布拓展为三维的电荷分布。

应用库仑定律可以得到点电荷的电场规律：vec E = 1 / (4 pi eps0) * q0 / r^2 * vec e_r，e_r 为源电荷到试验电荷的单位方向矢量

应用电力叠加原理可以得到

• 点电荷系得电场规律
• 连续分布电荷系统的电场规律：vecE = int dvecE = int vec r dq / 4 pi eps r^3，积分的无穷小量是微小的电荷元
  • 注意这个式子里面的 d vec E 显然不能理解为 vec E 对三维空间的微分，这样得到的是 vec E 自身在三维空间上的变化率，这种不严谨的记号应该理解为一种紧凑的简便写法，教材中 int d vec E 并不是严谨的。int d vec E 实际想要表达的是电力叠加原理，即叠加每一份小电荷产生的电场，而不是叠加每一份小空间产生的电场。在给定电荷模型的情况下，严谨的写法为， vec E = sum vec r * e / (4 pi eps0 r^3) 其中 e 为元电荷，vec r 为该元电荷的坐标，可以等价地替换为平均密度的写法 vec E = sum vec r * pho * V / (4 pi eps0 r^3)，vec r 为区域内一点的坐标，pho 为该区域内所有电荷的平均数除以这个区域的体积，V 的选取需要保证使用 vec r 来代表区域内所有点坐标的误差可以忽略（宏观小）。发现不对劲，无论怎么选 V 都无法保证误差趋于 0，因为 V 有一个下界（至少包括一个电子），这决定了 V 无法趋于 0。如果直接将 vec r 定义为区域内点的坐标平均值将无法进行计算。实际上 pho 的定义已经无法进行计算了。考虑忽略电荷模型进行定义，利用带点量和电密度的严谨定义（定义某占地 area 的物体的带电量为 q(area) = int_area rho(vec r) dV）从而 q 诱导的不定积分 int rho(vec r) dV 是可导的（尚不了解体积分 / 多重积分中是否存在变限积分的概念），我们可以书写 dq 为该不定积分的微分，dq = rho(vec r)dV，考虑一个单连通的物体产生的电场，vec E = int_{area} vec r dq / (4 pi eps0 r^3) = int_{area} vec r rho(vec r) dV / (4 pi eps0 r^3)，在三维空间中，这是一个体积分。
  • 电荷体密度：对于三维空间的一个电荷内的区域 dV，rho = dq / dV。由于带点的本质是电子、质子不均等，dV 的选取要求宏观小微观大，既要保证反映宏观密度不均也要保证微观结果可信。rho 视为三维空间的一个子集上的函数 rho(vec x)，从数学上来说 dV 应为 vec x 附近一个无穷小区域（按照非标准模型），这就与 dV 的选取矛盾。 严谨地来说似乎只能定义平均密度。考虑是否可以剥离电荷的实际模型（质子电子）来考虑定义带电以及电荷密度。带电密度定义为某一物体所占空间（三维空间上的一个子集）上的一个连续函数rho(vec x)（从感觉上来说带点密度应该是连续的，不过这只是猜想），由于连续函数一定是黎曼可积的，那么物体的带电量定义为密度对该物体所占空间的积分 q(area) = int_area rho(vec x) dV，带电量是一个三维空间子集到电量的映射。似乎没什么问题，在忽略了带电密度对 dV 的限制之后，dV 没有下界了从而可以趋向 0，带电量的积分式是有体积分的数学基础支撑的，妙哉！
  • 电荷面密度：对于二维空间的一个电荷内的区域 dV，sigma = dq / dV
  • 电荷线密度：lambda = dq / dV
  • 注意这几个密度都是关于对应空间坐标的函数，如体密度为 R^3 ->R，这都是单点密度（单点怎么会有密度？），与平均密度不同。
  • 电场规律积分式
    • 只有在少部分具有高对称性的连续电荷分布情况可以得到解析解，大多数情况下需要数值计算。
    • 需要选取特定的坐标系计算
    • 三维空间内是三重积分，vec E = 1 / (4 pi eps0) * int int int rho(vec x) * dV * (vec x - vex o) / (vec x - vec o)^3。当选定立体直角坐标系时 dV = dx dy dz 同时 vec x 和 vec o 都可以使用 x y z 表示。整个积分遍历整个带电体区域。
      • 在补充了物体带电、带电密度的严谨定义之后

无限长均匀带电细直线，E = lambda / (2pi * eps0 * h)，柱对称
均匀带电细圆环，利用对称性计算。当 x >> R 时可视为点电荷
均匀带电薄圆盘，视为多个细圆环计算。当 x << R 时可视为无限大均匀带电平面，E = sigma / (2 eps0)

电势是从电厂对电荷作用能的角度去描述电场性质的标量场。
可以利用电场线、等势面的方式来描述场。

电场线：一组描述电场分布的光滑曲线，基于电场中每一点的电场强度的方向大小的唯一性，可以用一组光滑曲线来刻画

• 曲线各点切线防线与该处电场强度方向一致
• 教材上给出的条件是，dS 为电场中任一点与该处电场强度方向垂直爹面积元，通过该面积元的光滑曲线数量 dN 满足 E = dN / dS。

电场线的性质

• 静电场的电场线发自正电荷或无穷远，终止于负电荷或无穷远，在无电荷处不中断
• 电场线不闭合
• 电场线不相交

电通量：通过电场中任意曲面的电场线条数为通过该面的电通量。实际上这并不能作为定义（过于丑陋和简化），其定义为 phi_e = ooint_S vec E cdot d vec S，这个定义完美刻画了电场强度与电通量之间的关系。电通量的单位为 unit(E)* m^2 = C / unit(eps_0)

在匀强电场中，任意面积元 dS（面积元可以看成平面？），d phi = E d S_bot = E d S cos theta，面元矢量 d vec S 大小为 dS，方向为 vec e_n，从而通过面元矢量 d vec S 的电通量为 d phi = vec E cdot d vec S。

对于非匀强电场，任意曲面 S，将曲面 S 拆分为多个小面积元 dS，对于小面积元而言，其可以看成直线，电场可以看成匀强电场，通过 S 的电通量为 phi_e = int d phi_e = int int_S vec E cdot d vec S，同样，这个里的 d phi_e 也不能理解为微分。对于封闭曲面而言，通常约定封闭曲面任意面元 d vec S 的方向从内向外。

高斯定理

高斯定理：给出了在真空中通过任意封闭曲面 S 的电通量 phi_e 与该曲面所包围空间 V 内源电荷之间的定量关系，${\text{∯}}_S\mathit{E}\cdot \mathrm{d}\mathit{S}=\frac{1}{{\epsilon }_0}{\iiint }_V\rho \mathrm{d}V$。依次证明单个点电荷、多个点电荷、连续情况下的成立。
封闭曲面内的电荷对电通量的贡献为上者，封闭曲面外的电荷对电通量的贡献为 0。

高斯定理反映出静电场是有源场

高斯定理的纯数学形式为散度定理：V 是一个空间中的有界闭区域，其边界为分片光滑的闭合曲面 S，$\mathbf{F}$ 是一个在 $V$ 上连续可微的向量场。向量场 $\mathbf{F}$ 通过曲面 $S$ 向外的通量等于其散度在区域 $V$ 上的体积分。

球对称性 vec E(vec r) = E(r) vec e^r
柱对称性
平面对称性，平行平面的平移对称性，对平面的反演对称性，平面的任意垂线都是旋转对称轴

利用高斯定理来分析电场性质。

均匀带电球体半径为 R，电荷密度为 rho，空间电场强度具有球对称性，可以考虑一个同心的高斯球面来求某一球面处的电场强度大小。

无限大均匀带电平面 W，电荷密度为 sigma，求电场强度分布，空间电场具有面对称性，可以考虑一对无限大的平行平面作为高斯面来求解某一与 W 平行的平面处的电场强度大小。不能选无穷大，因为不闭合，是否可以引入无穷远点从而导致闭合？

环流定理

电场力做功

点电荷静电场力做功与路径无关，进而得到一般电荷系统静电力做功与路径无关。做功与任意路径无关等价描述是的任意闭合回路做功为 0。${\oint }_l\mathit{E}\cdot \mathrm{d}\mathit{l}=0$，静电场环流定理的微分形式 $\mathrm{\nabla }\times \mathit{E}=0$。

电势能和电势

环流定理表明静电场是保守场（无旋场），可以引入势能来描述保守力场。

静电力所作功等于系统势能的减少量，q_0 在静电场 E 中从 a 到 b，电场力做功 A_ab，有 A_ab = - (W_b - W_a) = W_a - W_b。int_a^b q_0 E * dl 确定了任意两点的差值，此外还需要势能零点的选择，这样可以定义电势能 W(P)。

电势能是属于带电粒子和静电场这个相互作用系统的性质，在剥离带电粒子的影响之后可以得到电势 V = W_q / q

选取 b 为零食能点，有 W_a = int_a^b Eq * dl，V_a = int_a^b Eq * dl。第二个式子可以作为电势的定义。值得注意的是，电势和电场强度静电场的两种不同描述，第二个式子以 E 的积分的形式给出了 V 与 E 的关系

电势叠加原理：
点电荷电场的电势，选择无穷远点为零食能点，V_P = int_P^inf E * dl = q / (4 pi eps0 r)
点电荷系得电势，分解后按场强叠加原理
任意带电体的电势，分解为细小电荷元，V(r) = int dq / (4pi eps0 r) = int rho dV / (4 pi eps0 r)

注意上式基于库仑定律和叠加原理，假设电荷分布在有限区域内且观察点不在电荷分布内。无限分布的电荷系统不适用于上式，因为积分可能发散。但是这并不意味着电势是无穷大，错误出现的原因在于

• 选取了无穷远点作为零势能点，但是由于电荷分布是无限的，无穷远处的电荷实际上会对无穷远点的电势做出贡献。但是实际上在某些情况下（暂时不确定是否所有情况都可以）可以通过选择恰当的无穷远点（涉及 R^k 的紧致化非标准模型）零势能点来解决这个问题，比如无限大平面可以选取法线方向上的无穷远点。
• 无限多电荷作用本来就无法保证相对于无穷远点处的电势不会趋于无穷大。

Q，R 均匀带电球的电势分布。
线密度为 lambda 的均匀带电无限长直线的电势分布

电势与电场强度的微分关系

电势作为表两场可以用等值面来可视化。等势面是静电场中的一组曲面，一个曲面上的点满足 V(x, y, z) = C。

点电荷沿等势面移动电场力不做功
等势面上任意点处的电场强度方向为法线方向
等差等势面而言，间距小处场强大。

a 在 V，b 在 V + dV，点电荷 q_0 从 a 沿 dl 运动到 b，则 -dV = vec E cdot d vec l = E_l * dl，即 E_l = - dV / dl，在垂直处有 E = -dV / dl_n，且 E >= E_l，数学上称 dV / dl_n * vec e_n 为标量函数 V 的梯度，记作 nabla V，在视角坐标系中 nabla = vec i * partial / partial x + ... 。这套定义严谨吗？

电偶极子

静电场与物质的相互作用

导体的静电平衡

按照物质围观构成以及物质与电场相互作用机制可以把物质大致分为导体、半导体和绝缘体

导体由自由电子和正电背景组成。金属内部自由电子密度和正电离子密度保持相同。由于静电感应而出现在金属导体表面的电荷称为感应电荷。对于匀强电场而言，感应电荷会在金属内部产生电场 E'，E' 和外电场方向相反，会组织自由电子的定向移动，最终 E' 与 E 完全抵消，金属内部合电场强度为 0，达到的平衡称为静电平衡。

划分为三部分：导体内部，导体边界，导体外部。导体在达到静电平衡时，电场强度矢量场在导体边界上发生了一个跃变（从数学角度考虑），在此处无法定义（在传统理论下，在分布理论中可以解决）电场强度。所以通常需要考虑导体边界的内外侧极限处。

由于外加电场的存在导致金属导体电荷重新分布的现象称为静电感应。静电平衡的等价刻画

• 金属导体内部电场强度处处为 0，即导体内各点电势相等，成为等势体。
• 并且金属导体表面外侧极限的电场强度与导体表面垂直，成为一个等势面

对于原本不带电的导体而言，假设放入电场前内部自由电子均匀分布，那么在放入电场后，从整体上来看只会发生导体表面的电荷移动。因为内部的净电荷密度一直需要保持为 0，所以正电背景需要固定量的自由电子去中和。

如何严谨刻画？

实心导体电荷分布

单连通实心导体

导体达到静电平衡时，导体内部电场强度处处为 0，从而利用高斯定理可以得到导体内部电荷体密度处处为 0（电场强度矢量场散度为 0）。导体的电荷全部分布于导体表面边界上。

在没有外电场的情况下孤立实心导体带电时，其自身也会达到静电平衡

达到静电平衡时导体表面电场强度为 vec E = sigma / eps0 vec e_n，可以通过取导体表面一点处的柱形高斯面利用高斯定理然后取极限（是否严谨？）。

实验表明，孤立导体表面电荷面密度 sigma 的大小与导体表面曲率有关，曲率越大 sigma 越大

导体空腔电荷分布

考虑单连通单一空腔导体，导体包括导体内（开球壳 omega）和导体边界（partial omega），导体边界包括内边界和外边界，导体外为空腔内部（导体内边界内的空间）和导体外边界外的空间，空腔边界就是导体内边界。有时，某一物体的表面会用来指代物体的边界。

空腔内无电荷：电荷仅分布在导体外表面。证明：在导体内紧贴空腔表面取一高斯面，利用高斯定理，由导体内电场强度处处为 0，知道该表面内部（包括空腔内部、空腔边界、一个导体内的开球壳）净电荷为 0，取极限（是否严谨？）得到空腔表面净电荷为 0。空腔表面作为导体边界是一个等势面，从而处处电荷密度为 0.

空腔内有点电荷：导体内部无净电荷分布，电荷只能分布在导体的内边界和外边界，在导体内紧贴空腔边界同样取一个高斯面，利用高斯定理并取极限知道空腔表面的感应电荷量 q' 与空腔内部电荷量 q 代数和为 0，从而导体外表面带电 Q + q，Q 为导体原来的带电量。

• 导体空腔内的电场由 q 与 q' 共同决定，与外边界与外电场无关（由高斯面的电通量为 0 刻画）
• 导体外边界外的电场由 Q + q 与外电场共同决定，与内边界与空腔内电荷无关。

根据以上性质，可以利用导体空腔进行外电场屏蔽，以及，接地的导体空腔可以屏蔽空腔内电场对导体外边界外空间的影响，接地决定了导体电势近似为零（即导体永远近似不带电，感应的 Q + q 被大地中和）。

两块近距离平行放置的导体平板，面积均为 S，分别带电 q1，q2。近距离平行可以忽略边缘效应，近似为四个均匀的无限大带电平面 sigma l1, r1, l2, r2，根据电荷守恒和静电平衡的条件可以求得
sigma l1 = sigma r2 = (q1 + q2) / 2S，sigma r1 = -sigma l2 = (q1 - q2) / 2S。特别地，当 q1 = q2 时，电场由 l1 和 r2 唯一决定，l1 和 r2 之间场强为 0，此外场强为 q1 / eps0。

半径为 R 的接地导体球附近有一点电荷 q，距离球心 O d，求导体表面的感应电荷电量。此时导体球和地球作为一个整的导体，

• 整个球内部是一个等势体
• 地球是远端，球是近端，球的表面会感应出与 q 相反的净电荷。且不是均匀分布，右侧应该多一点。

考虑球心 O 处的电势为 0，0 = q / (4 pi eps0 d) + iint sigma dS / (4 pi eps0 R)（此处利用等势和导体球表面有静电荷来刻画静电平衡，然后利用点电荷、任意电荷分布的带电体的电势公式来描述导体内电势），可以求得 iint sigma dS = - R q / d。可以用电场强度等价的刻画；选取点 O 是因为方便计算。

静电场中的电介质

电介质指没有任何可以自由移动电子的理想绝缘体。电介质的带电粒子由分子、原子紧密束缚着，带电粒子只能在有限的线度内自由移动。因此，电介质与电场的相互作用与金属导体由很大的不同。

电介质与电场的相互作用

无极分子，每个分子的正电荷中心和负电荷中心将在外电场方向上发生相对位移（重合的正负电荷中心被拉开），看成一个电偶极子，其电矩方向沿外电场方向。对于密度均匀的电介质，分子电矩分布均匀，任何宏观体内正负电荷代数和为零，介质内部不会出现净电荷。但是在电介质界面上存在违背低效的电荷，这些点和会在宏观尺度上激发电场，而且激发电场会弱于外电场。电介质在外电场中表现出的电学行为称为电介质的极化，介质处于极化状态时其表面出现的电荷称为极化电荷。无极分子电介质的计划吸纳想是由于单个分子正负电荷中心发生相对位移导致的，无极分子电介质的极化称为位移极化。

对于有极分子，每个分子的电矩都有转向外加静电场 E_0 方向的趋势，由于相邻分子间的相互作用，这种转向会被制约。对于密度均匀的电介质，由于分子电矩分布均匀，任何宏观提内正负电荷代数和为零，介质内部不会出现净电荷。有极分子电介质的极化称为转向极化。实际上，转向极化仅仅是主导机制，其中也会伴随着位移极化

外电场越强，单个分子电矩的转向越明显，分子电矩的排列就越整齐，介质极化程度越强。

无论是有极分子还是无极分子，当介质密度不均匀时，介质内部也会出现宏观层次上的极化电荷体密度分布。

极化强度

介质极化时介质内部的电场都会被减弱，可以用极化强度来衡量。一点的极化强度定义为该点处宏观体元 Delta V 内电介质分子电矩的矢量和除以 Delta V 的极限。实际上受限于物理模型，这么定义是无法依赖微积分的数学基础的，所以是在瞎扯淡。需要考虑类似电荷密度的定义方式。

实验证明，对于各向同性的电介质，当外加电场不太强时，介质内任意点的极化强度 vec P 与该点的电场总强度 E = E_0 + E' 成正比。vec P = kai_e eps_0 vec E。kai_e 称为介质的极化率，当介质为各向同性的均匀介质时，极化率为常数。

极化电荷

介质为非均匀介质时，介质的极化也是非均匀的。由于极化电荷仍然从属于相应的分子，因此尽管极化电荷体密度非零，但是任意宏观体元内的极化电荷综合还是只与其表面电荷分布有关。所以关于极化电荷的分布问题仅限于宏观戒指表面的面电荷分布。

在介质表面选取斜柱形体元 Delta V，一个底面在导体表面，一个底面在导体内，地面积为 Delta S，斜高为 Delta x，方向与该点处极化强度 vec P 平行。根据定义有 | sum_DeltaV p_i | = P Delta V。斜柱可以看成一个极化电介质元或者电偶极子，其电矩大小为 | sum_DeltaV p_i | = sigma' Delta S Delta x。所以 sigma' = P cos theta = vec P * vec e_n。这他妈是什么傻逼推导？

同样地忽略物理模型，直接定义极化强度是一个连续的矢量场 vec P，其被定义是为了代表该点附近电偶极子的电矩的宏观体密度。它是一个宏观统计平均的函数，并不是围观逐点定义的量。我们通过限定极化介质所产生的物理效应来定义 vec P：对于空间中一点，极化介质 V 在 vec r 处产生的电势为 V(vec r) = 1 / (4 pi eps0) * int_V vec P(vec r') * (vec r - vec r') d r'^3 / |vec r - vec r'|^3。

nabla = (partial / partial x, partial / partial y, partial / partial z)

梯度算子，作用于标量场，得到向量场，标量场 B 的梯度记为 nabla bm B 或者 grad bm B。

散度算子，作用于向量场，得到标量场，向量场 A 的散度记为 nabla cdot bm A 或者 div bm A。

V(vec r) = 1 / (4 pi eps0) * int_V vec P(vec r') * (vec r - vec r') d r'^3 / |vec r - vec r'|^3 利用

• Delta'(1 / |vec r - vec r'|) = (vec r - vec r') / |vec r - vec r'|^3
• Delta' cdot (f bm A) = (Delta' f) cdot bm A + f(Delta' cdot bm A)。取标量函数 f(vec r) = 1 / |r - r'| 以及向量场 vec P(vec r')。可以理解为向量场上作用标量函数后的散度，取决于原向量场的散度作用标量函数，加上原向量场点乘标量函数的梯度

可以被重写为。。再使用 plain latex 的话可读性几乎为零。经过化简后对比静止电荷分布的电势公式 phi(vec r) = 1/(4 pi eps0) * oint_partial V sigma(vec r') dS / |vec r - vec r'| + 1/(4 pi eps0) * int_V rho(vec r') dV / |vec r - vec r'|，即拆分为 partial V 和 V 的贡献之和。通过对比可以知道：对于电介质而言 vec P(vec r') cdot vec e_n = sigma(vec r') 以及 rho(r') = - Delta' cdot vec P(vec r')，这两个式子刻画了极化强度是如何影响电介质表面和内部的电荷分布的，前者来源于极化强度的法向分量在边界的不连续性（从电介质内有限值突变为电介质外的零），后者来源于极化强度的非均匀性，二者合起来可以唯一地确定极化强度矢量场。

考虑半径为 R 的均匀极化 P 介质球，求球心处的电场强度。

介质中静电场的环流定理

外加电场是静电场时，介质的极化是稳态的，对应的极化电荷产生的电场也是静电场。二者的合电场是静电场，满足环流定理。

介质中静电场的高斯定理

高斯定理需要考虑封闭曲面内的自由电荷和极化电荷：oint_S vec E cdot d vec S = 1 / eps0 * (sum_S内 q_0 + sum_S内 q')，其中 vec E = vec E_0 + vec E'。由于极化电荷 sum_S内 q' 取决于总电场 E 的分布，而总电场分布又取决于 q' 所以直接应用高斯定理是很困难的。

将电介质分子分为完全在 S 内，完全在 S 外，穿越 S 三种，只有第三种对 sum_S内 q' 有贡献（取决于正电中心还是负电中心在 S 内），S 上一面元 Delta S 的极化电荷为 sigma' Delta S，从而 S 内有极化电荷 Delta q' = -sigma' Delta S，因此 sum_S内 q' = -oint_S sigma' dS = - oint_S vec P cdot d vec S。代入原式后移到左边：oint_S (eps0 vec E + vec P) cdot d vec S = sum_S内 q_0。定义 vec D = eps 0 vec E + vec P 称为电位移矢量。电位移矢量由外加电场 E_0、空间自由电荷分布、极化电荷共同决定。

对于各向同性的介质，外电场不太强时，介质对电场的响应为线性时，极化强度 vec P = chi_e eps0 vec E，从而 vec D = eps0(1 + chi_e) vec E，零 eps_r = 1+ chi_e 称为介质的相对介电常数，eps = esp_0 eps r 称为电介质的介电常数，vec D = eps vec E。

现在推广自由点电荷在介质中产生的电场强度。考虑与 q 同心的高斯球面，利用高斯定理有 oint_S eps vec E cdot d vec S = q，即 E(r) * eps * oint_S dS = E(r) * eps * 4 pi r^2 = q。

介质交界面两侧电场的关系

左 eps1 右 eps2

电场强度与界面垂直时，取不包含自由电荷的横跨边界与边界平行的的柱面，高度无限小，界面为平面时底面积无需无限小，应用高斯定理，得到 -D1 DeltaS + D2 DeltaS = 0，电位移矢量是连续的，进而 eps1 E1 = eps2 E2

斜交时考虑法向角 theta1 theta2，有 -D1 Delta S cos theta 1 + D2 Delta S cos theta 2 = 0，电位移矢量在法线方向是连续的。

关于场量在界面切线方向分量的性质可以通过环流定理得到，考虑横跨介质的逆时针矩形路径，各边或者平行或者垂直于界面，垂直界面的边无限短（保证该侧路径不做功），平行界面的为 Delta l（界面为平面时无需无限小）。E1* Delta l * cos(pi / 2 + theta1) + E2 * Delta l * cos(pi / 2 - theta2) = 0。即 E1 sin theta1 = E2 sin theta 2，这说明电场强度在切线方向分量是连续的

电容和电容器

对于孤立单连通实心导体而言，实验表明，其电势与其带电量成正比。其理论依据在于，V(vec r) = int rho dV / (4 pi eps0 |vec r|)，导体表面是一个等势体，从而导体表面的电势 V = V(vec r_0) = 1 / (4 pi eps0 |vec r_0|) * int rho dV，而 int rho dV 恰好是导体的带电量。严格地来说 V(vec r_0) 是没有定义的，因为 vec r_0 恰好在导体的边界上，正确的理解应当是导体边界的外侧极限。定义电容 C = int rho dV / V。

电容器为导体的组合。最简单的电容器为两个导体 A B 带等量异号电荷 q 和 -q，两道题之间的电势差 Delta V = V_A - V_B 与电容器带电量成正比。

这个定义十分垃圾，根本无法推广。正确的定义形式为电容矩阵 C_n * n，满足对于任意 i 有 q_i = =sum_j C_ij V_j。上述情况是 q1 = -q2 = q 且 C_AB = C_BA 的特例，C = (C_AA * C_BB - C_AB^2) / (C_AA + C_BB +2C_AB) 且 q = C Delta V = C (V_A - V_B)

电容可以由导体的几何形状、大小唯一确定，电容器的电容可以由电容的组合方式、各电容的形状、大小、周围的介质分布唯一确定。

法拉是一个很大的单位；孤立导体的电容是很小的，增大电容通常采用导体组合的方式。

平行板电容器：S >> d 保证忽略边缘效应，两板间场强 E = q / (eps S)，电势差 Delta V = q d / (eps S)，C = eps S / d。变换一下形式可以得到高中课本中给出的超纲公式 C = eps_r S / (4 pi k d)。

球形电容器：半径为 R_A 和 R_B 的同心球壳，内带 +q 外带 -q，球壳间的电场强度为 vec E = q vec r / (4 pi eps r^3)，这个电场强度由 R_A 的外边界电荷 +q 和 R_B 内边界感应的 -q 产生。电势差为 int_A^B vec E cdot d vec l = q / (4 pi eps) * (1 / R_A - 1 / R_B)，从而 C = 4 pi eps R_A R_B / (R_B - R_A)。

柱形电容器：高为 l 半径分别为 R1 R2，当 l >> R2 (> R1) 时可以忽略边界效应，C = 2pi l eps / ln (R2 / R1)。
金属薄膜 + 绝缘介质 + 金属薄膜 + 绝缘介质，这样一长条卷起来。

以上三种电容器的串并联

应试策略

检查量纲，防止 E 写成 1 / 4pi eps0 r，W_e 忘记乘 q。

题面提到导体就是暗示考虑静电感应。此时即使是均匀电荷分布的导体，也应该理解为这是一种初态，而我们考虑的是静电稳态 / 瞬时静电初态，而不是瞬时初态。

其他很多的情况下都不需要考虑物体之间的静电相互作用对电荷分布的影响。

注意符号！积分变量采用的符号如果与题目参数相同很容易混淆！

符号计算不要出错。

复习常见公式提升熟悉度。

刻画静电场我们需要 $\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{E}=\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$ 以及 $\mathrm{\nabla }\times \mathit{E}=0$，这是麦克斯韦方程组满足

• 无运动的自由电荷，传导电流为零：$\mathit{J}=\mathbf{0}$
• 无变化的电场，位移电流为零：$\frac{\partial \mathit{E}}{\partial t}=\mathbf{0}$
• 上述两者成立时，不存在磁场，所以：$\frac{\partial \mathit{B}}{\partial t}=\mathbf{0}$

的特殊形式，第一个式子就是高斯定理的微分形式，第二个式子说明电场强度矢量场是一个无旋场，进而可以用一个标量电势场来描述。由于 $\mathrm{\nabla }\times \mathit{E}=0$ 等价于 $\mathit{E}=-\mathrm{\nabla }\cdot \varphi$ 二者可以统一为泊松方程 $-{\mathrm{\nabla }}^2\varphi =\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$。

泊松方程在有界闭集 $V$ 上的解为 $$\phi = \iiint_{V} \frac{\rho(\boldsymbol{r}')dV}{4 \pi \varepsilon_{0}\lvert \boldsymbol{r}' - \boldsymbol{r} \rvert }$$，其中 $\rho$ 包括自由电荷、感应电荷、极化电荷。所以静电系统可以直接用这个公式求解，但是要求提前分析出了感应电荷和极化电荷的分布，因为通常情况只会给出自由电荷的分布。注意这里的极化电荷和感应电荷是相对于自由电荷分布而言的，并不是绝对的，他们作为一种对自由电荷分布的修正存在。

此外，如果 rho 只在 V 的一个子集内有分布，phi 的公式可以被改写。特别地，如果全空间内只有有限区域内存在电荷，那么全空间的电场强度都可以通过改写后的 phi 式子得到。

作为以上的直接推论，我们可以不使用高斯定理而直接利用 $$\boldsymbol{E} = \iiint_V \frac{\rho(\boldsymbol{r}')(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}')\mathrm{d}V}{4\pi \varepsilon_{0}\lvert \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}' \rvert^3 }$$ （或者类似的面积分、线积分）来进行 $\partial V$ 处（也可以直接得到整个 V 的）电场强度的计算，但是直接这么算我们通常会面临球面的向量积分这种困难的问题。而这类问题的求解方法还是用梯度来简化运算。所以可以直接利用前式算出 bm r 在电场强度方向上的附近的 phi 之后计算梯度即可。在具有一定对称性、方向已知的情况下我们可以用 R->R 的梯度来代替 R^3 -> R 的梯度来简化计算。

另一个推论是利用改写的 phi 对应的电场强度公式来计算给定有限区域内的电荷分布全空间的电场强度。

但是这样有时仍然会很复杂，因为这是数学上十分暴力的方法，需要一定的积分、向量、代数技巧。 但是我们在做应试物理题，所以可以利用物理一点的方法。

以下方法的一个重要基础是叠加定理。

给定空间某一区域的电荷分布（不存在其他电荷分布），计算空间某一点的电场强度：

• 可以通过对该区域的非点电荷微元进行积分来简化计算，譬如球冠面均匀电荷分布可以用环带微元进行积分。
• 如果具有某种对称性就可以考虑使用高斯定理
• 直接数学暴力

常见的电荷分布的电场强度分布：

• 球壳，球壳内零场强，球壳外等效于点电荷的场强。

已知空间电势分布，求电荷密度分布。本质计算仍然是利用麦克斯韦的两个方程，求微分相对于求积分是简单的不再有逆问题的复杂性，如果具有对称性可以使用高斯定理简化计算。

给定空间某一区域的电荷分布，计算空间内某一连续带电体的受力。如果空间一点的电场强度很好计算，并且连续带电体可以用空间一点作为微元进行微分方便地计算，那么就可以这么算（？）

给定一个有限个连续带电体组成的静电系统（点电荷可以视作特殊的连续带电体，连续带电体为具有电荷密度分布的一个单连通闭区域），其静电相互作用能可以

• 以连续带电体为单位进行考虑。连续带电体本身具有静电自能。
• 以电荷微元作为单位进行考虑，求和得到该带电体与其他带电体的静电互能

静电能有四种考虑方式：

• 利用外力从零构建这个静电系统需要的功（克服静电力），或者静电系统在静电力作用下自然解体静电力所做的功；
• 利用电势：1/2 sum V_i q_i 或者连续形式 1/2_V int V rho dV；
• 利用电场能密度，存在电介质时，omega_e = 电位移矢量与电场强度的点积，1/2 int_V bm D cdot bm E；
• 电容器的静电能。

静电平衡的刻画：

• 导体内部场强为 0，导体表面的等势。导体表面电场强度与表面电荷分布的关系 E_bot = sigma / eps_0 e_n。我们通常不考虑导体表面电荷具体是如何分布的，而是考虑其导体闭区域的电学性质，因为后者更简洁。
• 电介质内部 rho = - nabla times P, sigma = P cdot e_n。

处理感应电荷

• 导体空腔内有电荷，通常考虑的是自由电荷与感应电荷的综合作用，通过静电感应规律得到表面总电荷，然后根据曲率得到均匀分布，然后化为给定电荷分布求电场强度。