大学物理2期末复习

磁性客体之间通过磁场进行相互作用，磁场产生的根源可以归结为电流

电流与电源

导体外部提供稳定的电势差，产生稳恒电场。如果有回路（电源提供稳定的电势差，载流子不再累计），那么就会出现稳恒电流。

电源电动势定义为单位正载流子从电源负极迁移到正极所做的功。 $ε = \oint_{L} E_{k} \cdot d l$ ，E_k 为非静电力场强。

电流密度是空间位置的函数，描述单位体积内电流速度与电荷量的乘积。电流强度是电流密度对空间某处垂直于稳恒电场方向的单位平面的通量，方向平行于空间的稳恒电场方向

欧姆定律的微分形式

\boldsymbol{j} = n q\boldsymbol {v_{d}} = \frac{nq^2\tau}{2m}\boldsymbol{E},\boldsymbol{v_{d}} =\frac{q\tau}{2m}\boldsymbol{E}$$ 电导率 $\gamma =\frac{nq^2\tau}{2m}$，实际上 $n,\tau$ 都是空间位置的函数，电导率也是空间位置的函数。 #### 磁场的磁感应强度 磁场对处于磁场中的运动电荷有磁作用 磁感应强度大小定义为 $\frac{F_{max}}{qv}$（正电荷运动受力最大），方向定义为小磁针 N 极指向（正电荷运动不受力的方向） 洛伦兹定律 $$\boldsymbol{F} = q\boldsymbol{v}\times \boldsymbol{B}

洛伦兹定律可以利用狭义相对论进行推导。

比奥萨法尔定律

稳恒电流产生稳恒磁场的规律。线电流拆分为电流元 $I d l = S n q v_{d} d l = S n q v_{d} d l = d q v_{d}$

d B = k_{m} \frac{I d l \sin θ}{r^{2}}

d B = k_{m} \frac{I d l \times r}{r^{3}}

$θ$ 为 $P$ 点相对于电流元位置矢量与电流元方向夹角， $k_{m}$ 与空间介质的磁性质有关，真空而言 $k_{m} = \frac{μ_{0}}{4 π}$ ， $μ_{0}$ 为真空的磁导率

载流直导线 $B = \frac{μ_{0} I}{4 π d} (\cos θ_{1} - \cos θ_{2})$ 。无限长。右手螺旋
圆电流轴线（平行圆盘方向的磁感应强度分量抵消） $B = \frac{μ_{0} I R^{2}}{2 (R^{2} + z^{2})^{3 / 2}}$ ，z = 0 $B = \frac{μ_{0} I}{2 R}$ ，z >> R, $B ≃ \frac{μ_{0} I R^{2}}{2 z^{3}} = \frac{μ_{0}}{2 π} \frac{I S}{z^{3}}$ ，磁偶极子
无限长直载流螺线管周线上任意一点磁感应强度相同均为 $B = μ_{0} n I$ ，半无限长端面中心为 $\frac{1}{2} μ_{0} n I$

磁场基本规律

磁通量
磁场的高斯定理，封闭曲面的磁通量为零，稳恒磁场为无源场，磁极总是成对出现
磁场的安培环路定理，对于稳恒电流产生的稳恒磁场 $\oint_{L} B \cdot d l = μ_{0} \sum I$
无限长直导线的某一垂直平面内的任意包含导线的环路 $L$

无限长均匀载流圆柱的磁场分布
无限长直密绕螺线管的磁场分布
无限大均匀在六平面的磁场为 $B = \frac{μ_{0} α}{2}$

磁场的基本规律

分解为电流元，载流导线受到安培力作用

载流线圈合力为零，磁力矩 $M = m \times B, m = I S e_{n}$

安培力 / 磁力矩做功 $A = I Δ Φ$

能量 $U = - m \cdot B$ ， $d A = - B I S \sin φ d φ, F = \nabla (m \cdot B)$

带电粒子的运动

运动带电粒子的磁场 $B = \frac{μ_{0}}{4 π} \frac{q v \times r}{r^{3}}$
带电粒子在磁场中的运动规律
霍尔效应： $q E = q v B, U = E h = B v D_{U} = B D_{U} \frac{I}{n q D_{U} D_{B}} = \frac{B I}{n q D_{B}}$

14 磁场与物质的相互作用

各向同性的均匀磁介质 $B = μ_{t} B_{0}$ ， $μ_{t}$ 为磁介质的相对磁导率
抗磁质、顺磁质、铁磁质、（第一类、第二类）超导体

原子中电子的轨道运动磁矩 $μ_{l} = - \frac{v | e |}{2 π r} \cdot π r^{2} = \frac{| e |}{2 m} m v r, μ_{l} = - \frac{| e |}{2 m} L$ ， $L$ 为电子绕核运动的角动量，其轨道运动在磁场中表现为绕磁场方向的进动，附加进动角动量产生的附加轨道磁矩方向与外加磁场方向相反，削弱磁场

原子中电子的自旋运动磁矩 $μ_{s} = - \frac{| e |}{m} S$ ， $S$ 为电子的自旋角动量

构成介质的分子 / 原子的磁矩为其内部电子磁矩矢量和
$μ_{m} = 0$ 抗磁质
$μ_{m} \neq 0$ 固有磁矩，分子间的固有磁矩在没有外加磁场时相互抵消，不表现出磁性，存在外加磁场时，分子作为磁矩在某种程度下会向外加磁场方向偏转，从而在宏观层面表现出磁性（抵消电子磁矩带来的抗磁性）

磁化强度和磁化电流

任意宏观体的磁介质分子磁矩矢量和，在无外加磁场是为零，在存在外加磁场时，不为零（？）且与外加磁场强度正相关

均匀磁化的磁介质无论是抗磁性还是顺磁性，内部的分子电流相互抵消，但是表面未抵消，称为磁化电流，对于非均匀磁化介质其内部也有磁化电流分布

磁化强度为单位体积内的分子磁矩矢量和

\begin{aligned} | \sum_{Δ V} μ_{m i} | = M Δ V & = M Δ S d l \cos θ = Δ S d I \\ d I & = M d l \cos θ = M \cdot d l \\ α & = \frac{d I}{d l} = M \cos θ \\ α & = M \times e_{n} \end{aligned}

介质中磁场的基本规律

$B = B_{0} + B^{'}$
当 $B_{0}$ 为稳恒磁场时，介质的磁化也呈现与时间无关的稳定状态， $B^{'}$ 也是稳恒磁场，所以 $B$ 也是稳恒磁场，满足高斯定理和环路定理

环路定理的另一种形式

\oint_{L} B \cdot d l = μ_{0} \sum I + μ_{0} \sum I^{'}

$\sum I^{'}$ 磁化电流代数和由总磁场决定导致上式使用不便，考虑每个分子电流（磁偶极子）对 $\sum I^{'}$ 的贡献，只有单次穿越（套环）的有贡献

\sum I^{'} = \oint_{L} M \cdot d l

\oint_{L} (\frac{B}{μ_{0}} - M) \cdot d l = \sum I

磁场强度矢量 $H$ ， $M = χ_{m} H$ ， $χ_{m}$ 为介质的磁化率， $B = μ_{0} (1 + χ_{m}) H = μ_{0} μ_{t} H$ ，磁导率相对磁导率

稳恒磁场的边值关系

铁磁材料

磁滞回线

15 电磁感应

法拉第电磁感应定律
楞次定律

动生电动势

磁场中运动的导体棒， $E_{k} = v \times B, ε = \int E_{k} \cdot d l = \oint (v \times B) \cdot d l$

感生电动势

感应电场
$ε = - \iint_{S} \frac{\partial B}{\partial t} \cdot d S = \oint_{L} E_{i} \cdot d l$

圆柱形均匀分布的磁场区域内的感应电动势大小 $E_{i} = \frac{r}{2} \frac{\partial B}{\partial t}$

电子感应加速器 B = 1/2 bar B，前 1/4 个周期
涡电流

自感和互感

磁场能量

16 电磁场与电磁波

修正电场可变时的安培环路定理

\oint_{L} H \cdot d l = \iint_{S} (j_{c} + \frac{\partial D}{\partial t}) \cdot d S

$j_{d} = \frac{\partial D}{\partial t}$ 为位移电流密度

修正的磁场可变时安培环路定理可以利用法拉第电磁感应定律通过假设感应电场的存在推导而来。

对于各向同性介质 $D = ε_{0} E, H = \frac{1}{μ_{0}} B, j = γ E$

F = qE + qvB

$w = w_{e} + w_{m} = \frac{1}{2} ε E^{2} + \frac{1}{2} \frac{1}{μ} B^{2}$

电磁波

电磁波的波动方程可以由自由空间的麦克斯韦方恒组推导得到
$\nabla^{2} E = μ ε \frac{\partial^{2} E}{\partial t^{2}}$ 可以看出波动特征
电磁波的传播速度 $c = \frac{1}{\sqrt{μ ε}}, u = \frac{c}{n}$ ，折射率 $n = \sqrt{μ_{r} ε_{r}}$

$\frac{\partial^{2} E_{y}}{\partial x^{2}} = \frac{1}{u^{2}} \frac{\partial^{2} E_{y}}{\partial t^{2}}$

各向同性介质中电磁波波动方程的平面简谐波解 $E_{y} = E_{0} \cos ω (t - \frac{x}{u}), H_{x} = H_{0} \cos ω (t - \frac{x}{u})$ ， $\sqrt{u} H_{0} = \sqrt{ε} E_{0}$ ，沿 $x$ 轴正向传播
电磁波时偏振的（E times H // u）横波，两个分量同相

电磁波的能流密度称为坡印廷矢量 $S = w u = E \times H$

电磁场的物质性

电磁波的产生

LC 振荡电路

7 机械波

波的几何描述，波线、波面、波前

简谐波

行波表达式，沿 x 轴正向传播 $y = A \cos [ω (t - \frac{x}{u}) + φ_{0})] = A \cos [ω t - k x + φ_{0}]$ 其中 k 为角波数，表示单位长度波的相位变化

弦的波动方程

\frac{T_{0}}{ρ} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{d^{2} y}{d t^{2}}

$u^{2} = \frac{T_{0}}{ρ}$

简谐波的能量

质元的势能和动能

Δ E_{k} = Δ E_{p} = \frac{1}{2} Δ m ω^{2} A^{2} \sin^{2} (ω t - k x + φ_{0})

波的能量密度，平均值为其振幅一半

w = \frac{Δ E}{Δ V} = ρ ω^{2} A^{2} \sin^{2} (ω t - k x + φ_{0})

能流 $P = w u S$ ，强度 $I = \frac{\bar{P}}{S} = \bar{w} u = \frac{1}{2} u ρ ω^{2} A^{2}$ ，稳定传播的波通过不同波面的能量相同

声强，声强级

波的传播与叠加

惠更斯原理，波阵面的点作为新波源，子波集的包络线就是下一时刻的波阵面

反射、折射原理

叠加原理源自线性微分方程的解可叠加

干涉的振幅

驻波，振幅最大为波腹，振幅最小为波节

光的干涉与衍射

光的相干性

双缝干涉

干涉条纹可见度
光源宽度对干涉条纹的影响