我们研究群 $(G,\cdot )$ 中 $G$ 的子集。首先自然拓展 $\cdot$ 到 $\mathcal{P}(G)$ 上：$A,B\subseteq G,A\cdot B:=\{a\cdot b\mid a\in A,b\in B\}$。这样的拓展在很多时候可以实现简写，类似于把很多单独操作封装成向量-矩阵语言

群的子集涉及的性质相对于元素而言多了 $\subseteq$，除了这个以外，许多其他性质都可以从元素自然推广到子集，并通过将元素视为单元素集合进行统一。

子群是一种保持了群的性质的子集。

• 判定一个子集 $H$ 是否为 $G$ 的子群：$H\le G\iff \mathrm{\forall }a,b\in H,a{b}^{-1}\in H\iff H{H}^{-1}\subseteq H\iff H^{-1}H\subseteq H\iff H{H}^{-1}=H\iff H^{-1}H=H$。本质上只需要验证 $\cdot$ 和逆元运算的封闭性 $H^{-1}\subseteq H\wedge HH\subseteq H$。
  • 对于取逆运算，逆元的唯一性使得逐元素取逆保持包含运算$H^{-1}\subseteq H\iff H=(H^{-1}{)}^{-1}\subseteq H^{-1}\wedge H^{-1}\subseteq H\iff H^{-1}=H$。
  • 对于 $\cdot$ 运算，使得 $HH\subseteq H\leftrightarrow HH=H$ 的一个充分条件是 $e\in H$，因为 $H\subseteq eH\subseteq HH$
  • 于是 $H^{-1}=H\wedge HH\subseteq H\iff (H^{-1}=H\wedge e\in H)\wedge (e\in H\to (HH\subseteq H\leftrightarrow HH=H))\wedge HH\subseteq H\iff H^{-1}=H\wedge HH=H$，由于 $e{H}^{-1}=H$，成立 $H^{-1}=H\wedge HH=H\iff H{H}^{-1}=H\iff H^{-1}H=H$。这样我们使用连续的 $\iff$ 连接证明了 $H^{-1}\subseteq H\wedge HH\subseteq H$ 和 $H^{-1}H=H$ 之间的等价性。
• $H^{-1}H$ 自动满足取逆封闭，只需要再满足封闭性就能构成子群，但是 $H^{-1}H$ 不必然包含 $H$ 和 $H^{-1}$，所以这并不是一个通过向 $H$ 中添加元素来形成子群的尝试。
• $H,K\le G$，则 $HK\le G\iff HK=KH$

共轭子群

$H\le G$，对于 $g\in G$，$gH{g}^{-1}$ 被称为 $H$ 的共轭子群。

研究 $H$ 的共轭子群 $gH{g}^{-1}$ 和 $g$ 之间的决定关系

• 考虑共轭子群族上的共轭作用 Chapter 4 Group Action#共轭子群族上的共轭作用
• 直观上来说 $gH{g}^{-1}$ 是把 $H$ 上的对称性通过共轭转移到了陪集 $gH$ 上（或许可以把 “基本” 群元素分为 $H$ 内部对称和 $H$ 的陪集之间转移两种，这里的 "基本" 指的并不是生成元，为每个陪集规定一个代表元 $g_i$，$H$ 负责内部对称， $T=\{g_i\}$ 负责陪集之间转移，所有 $G$ 的群元素都可以写成形如 $tg,g\in H,t\in T$ 的形式，也就是 $G=TH$），两个共轭子群相同当且仅当 $g_{1}H{g}_1^{-1}=g_{2}H{g}_2^{-1}\iff g_1^{-1}{g}_{2}H(g_1^{-1}{g}_2{)}^{-1}=H$，从陪集 $gH$ 稳定子的角度考虑，改写为 $G=TH$ 形式 $g_1=g{f}_1,g_2=g{f}_2,f_1,f_2\in H$，那么 $g_{1}H{g}_1^{-1}=g{f}_{1}H{f}_1^{-1}{g}^{-1}=g{f}_{2}H{f}_2^{-1}{g}^{-1}=g_{2}H{g}_2^{-1}\iff f_{1}H{f}_1^{-1}=f_{2}H{f}_2^{-1}$。

正规子群

$H\le G$ 满足 $\mathrm{\forall }g\in G,gH{g}^{-1}=H$ 则称 $H$ 为 $G$ 的正规子群 $H⊴G$

• 从 $\mathrm{sub}(G)$ 上的共轭作用来看，这意味着 $H$ 的轨道只有一个元素（只有一个平凡共轭子群）、$N_G(H)=G$。直观地理解为 $H$ 具有 $G$ 中所有元素的共轭变换下的整体不变性。
• 从陪集族上的左乘作用来看，这意味着任意陪集 $gH$ 的稳定子都是 $H$，这意味着无需平移共轭直接施加 $H$ 的平移对称性进行变换即可实现 $gH$ 到 $gH$ 的等变双射，$H$ 的平移对称性和陪集之间的位置结构无关。比如 $D_5$ 的唯一非平凡正规子群 $⟨r⟩$，其有两个陪集 $⟨r⟩$ 和 $s⟨r⟩$，它们直接施加 $⟨r⟩$ 的平移对称性得到 $r^i⟨r⟩=⟨r⟩,r^{i}s⟨r⟩=s{r}^{-i}⟨r⟩=s⟨r⟩$。

正规子群是定义商群必要的概念，如果 $H⊴G$，那么 $G/H$ 上就可以建立良定义的陪集运算 $\times$ 从而构成商群 $(G/H,\times )$，其中 $\times$ 是拓展到 $\mathcal{P}(G{)}^2$ 上的 $\cdot$ 限制到所有陪集上。

• 构造商群的直觉是将所有带有 $H$ 平移对称性的子结构视为单个元素并以剩余的群对称性组织新元素之间的联系。考虑 $G$ 在 $G/H$ 上的左乘作用，为每个陪集固定一个代表元 $g_i$，所有群元素都可以写成 $x=th,h\in H,t\in \{g_i\}$ 的形式。固定 $i,j$，考虑 $x\cdot g_{j}H=g_{i}h{g}_{j}H=g_i{g}_{j}H$（即 $g_{i}H$ 的某个元素作用于 $g_{j}H$），$h$ 变化时 $g_{i}h{g}_{j}H$ 应保持不变，即 $h\in \mathrm{stab}(g_{j}H)=g_{j}H{g}_j^{-1}$，$H=g_{j}H{g}_j^{-1}$，根据 $j$ 的任意性和代表元选择的任意性即可推导出 $H⊴G$。

• 非正规子群存在一个和 $H$ 不同的共轭子群 $H^{\prime }=g_{j}H{g}_j^{-1}$，于是 $H{g}_{j}H=g_{j}H\iff H{H}^{\prime }{g}_j=H^{\prime }{g}_j$

• 非正规子群的陪集坐标不唯一，如果一个陪集 $gH$ 存在到自己的非平凡等变双射 $gh{g}^{-1}$，那么从 $fH$ 到 $gH$ 的差可以是 $(gh{g}^{-1}{)}^{i}g{f}^{-1}$。