Chapter 4 Group Action

群作用

群 $G$ 在集合 $A$ 上的作用是一个映射 $φ : G \times A \to A, (g, a) \mapsto g \cdot a$ ，这个映射需要保持群的性质 $\forall g_{1} g_{2} \in G, g_{1} g_{2} \cdot a = g_{1} \cdot (g_{2} \cdot a)$ 以及 $\forall a \in A, 1 \cdot a = a$

群 $G$ 在集合 $A$ 上的作用 $φ$ 和群同态 $ρ : G \to S_{A}$ 存在一一对应关系。群同态 $ρ : G \to S_{A}$ 称为 $G$ 的置换表示，如果 $ρ : g \mapsto (a \mapsto g \cdot a)$ 那么称为某群作用诱导的置换表示。

对于群作用 $φ : G ↷ H$ ，

$φ$ 的核定义为 $\ker φ = {g \in G ∣ \forall a \in A, g \cdot a = a}$ ，用不标准的语言表述为 $G$ 中所有在群作用 $φ$ 下表现为恒等变换的元素。直觉上来说群作用没有反映的群的结构信息就是群作用的核。
对于 $a \in A$ ，其稳定子定义为 ${stab}_{φ} (a) = {g \in G ∣ g \cdot a = a}$ ，用不标准的语言表述为 $G$ 中所有在群作用下在状态 $a$ 上表现为恒等变换的元素。~~直觉上来说 $stab (a)$ 反映的是与 $a$ 所代表的那一部分群的结构信息无关的群元素~~。实际上 $a$ 并不能代表群的结构信息， $stab (a)$ 反映的是对观察视角 $a$ 不可见的群对称性，或者说锚定 $a$ 然后筛选剩余的群对称性。
- $stab (a) \leq G$ 成立。这说明 $stab (a)$ 具有一部分 $G$ 的对称性。
- 如果我们把稳定子的定义拓展到 $P (G)$ ，定义集合稳定子 $stab (A) = {g \in G ∣ g A = A}$
  - 考虑 ${a} ⊊ A$ ， $stab (A)$ 不必然会比 $stab (a)$ 拥有更多的对称性即 $stab (a) ⊊ stab (A)$ 通常不成立。
  - 考虑映射 $f : A \to P (A)$ 满足 $\forall g \in G, x \in A, f (g \cdot x) = g \cdot f (x)$ ，其将 $A$ 中精细结构映射为粗糙结构，那么成立 $stab (a) \leq stab (f (a))$ 。
对于 $a \in A$ ，其轨道定义为 ${orb}_{φ} (a) = {b \in A ∣ \exists g \in G, b = g \cdot a}$ ，直觉上来说就是通过群元素变换可达的类， $A$ 的不同类之间相互不交，研究 $φ$ 可以分别研究 $φ$ 限制到每一个轨道上。
- $a \sim b \Leftrightarrow \exists g \in G, b = g \cdot a$ 是一个等价关系，某一个轨道内任意元素共轨道。

记 $G_{a} = stab (a)$ ，考虑 $G_{g \cdot a} = {h \in G ∣ h (g \cdot a) = g \cdot a} = {h \in G ∣ (g^{- 1} h g) \cdot a = a} = {g l g^{- 1} \in G ∣ l \cdot a = a} = g G_{a} g^{- 1}$ ，也就是不同群元素之间的陪集互为共轭

轨道-稳定子定理：对于群作用 $G ↷ A$ ，任意轨道 $orb (a)$ 的阶为 $stab (a)$ 在 $G$ 中的指数，即 $| orb (a) | = [G : stab (a)]$

证明：我们需要分析 $G a$ 中哪些作用的结果被合并，即方程 $g \cdot a = h \cdot a$ ，这等价于 $h \in g G_{a} \Leftrightarrow g G_{a} = h G_{a}$ ，于是 $G$ 上可以建立等价关系 $g \sim h \Leftrightarrow g \cdot a = h \cdot a$ ，每个等价类 $[g] = g G_{a}$ 进而与 $stab (a)$ 等势，轨道的大小就是等价类的数量 $[G : stab (a)]$ 。
当 $G$ 有限时，根据 Lagrange 定理 $[G : stab (a)] = | G | / | stab (a) |$ 化简得到 $| G | = | orb (a) | | stab (a) |$ 。
这个证明实际上给出了 $orb (a) ≅_{G} G / G_{a}$ ， $orb (a)$ 和 $G / G_{a}$ 作为 $G$ -集合同构

经典的群作用

神秘例子

$D_{5} \times C_{2} = ⟨ r, s ∣ r^{5} = e, s^{2} = e, r s r = s^{- 1} ⟩ \times ⟨ t ∣ t^{2} = e ⟩$ 作用于 $X \cup Y = {0, 1, 2, 3, 4} \cup {T, F}$ 上， $X$ 上 $D_{5}$ 按照通常方式作用、 $C_{2}$ 无作用， $Y$ 上 $D_{5}$ 无作用、 $C_{2}$ 按照通常方式作用。

$orb (1) = X$ ， $stab (i) = {e, r^{i} s r^{- i}} \times C_{2}$ ，可以发现每一个稳定子 $stab (i)$ 都有一部分互不相同的子结构 ${e, r^{i} s r^{- i}}$ ，这五个子结构互为共轭。
$[G : G_{1}] = | G | / | G_{1} | = 5$ ，左陪集集合 $G / G_{1} = {G_{1}, r G_{1}, r^{2} G_{2}, r^{3} G_{1}, r^{4} G_{1}}$ ，建立映射 $f : X \to G / G_{1}, i \mapsto r^{i} G_{1}$ ，这是一个双射且是 $G$ -等变映射，考虑 $g = (r^{k} s^{j}, t^{i})$ ， $f (g \cdot i) = f (i + k) = r^{i + 1} G_{1} = g \cdot f (i)$
$orb (T) = Y$ ， $stab (T) = {e} \times D_{5}, stab (F) = {e} \times D_{5}$ 。

自身上的左乘作用

$G$ 的左正则作用定义为 $φ : G ↷ G, g \cdot x := g x$ 。

$φ$ 只有一个轨道 $\forall x \in G, G x = G$ （作用传递）
$stab (x) = {e}$ （作用自由）

Cayley 定理的形式化表述为任意群 $G$ 都同构于某个置换群 $S_{X}$ 的子群，特别地取 $X = G$ ，存在 $H$ 满足 $G ≅ H \leq S_{G}$ 。

我们知道任何群作用 $G ↷ A$ 都给出群同态 $G \to S_{A}$ ，Cayley 定理就是说存在一个群作用，其对应的群同态 $G \to S_{A}$ 是单射。
证明：对于 $g \in G$ 定义 $g$ 诱导的左平移 $L_{g} : G \to G, x \mapsto g x$ ，不难验证 $L_{g} \in S_{G}$ 。我们断言存在单射群同态 $φ : G ↷ S_{A}, g \mapsto L_{g}$ ， $φ$ 显然保持了群的结合性 $φ (h) φ (g) = L_{h} L_{g} = L_{h g} = φ (h g)$ ， $φ$ 的单射性可以从 $L_{g} = L_{h} \Rightarrow L_{g} (e) = L_{h} (e)$ 中看出。

陪集族上的左乘作用

$H \leq G$ ，群作用 $φ : G ↷ G / H, g \cdot a H \mapsto g a H$ 。

$φ$ 传递
$stab (H) = H$ 。 ${g \in G ∣ g H = H = e H} = {g \in G ∣ g \in e H} = H$ 。
并不是只有 $e$ 才能稳定 $H$ ， $H$ 内部的的平移对称性（左乘对称性）可以带来额外的稳定 $H$ 的群元素。
只有 $H$ 中的群元素才能稳定 $H$ 。
$stab (g H) = {x \in G ∣ x \cdot g H = g H} = {x \in G ∣ (g^{- 1} x g) H = H} = {g y g^{- 1} \in G ∣ y H = H} = g stab (H) g^{- 1} = g H g^{- 1}$ 。
- 考虑 $g \neq e$ 时，从 $g H$ 到 $g H$ ，由于 $g H$ 并非子群不具有平移对称性，我们找不到 "直接的" 从 $g H$ 到 $g H$ 的非恒等等变双射，"直接的" 意味着实现这个双射的群元素属于 $g H$ 。所以我们考虑 "间接的" 非恒等等变双射（"间接的" 意味着利用其他陪集的平移对称性），任意 $f \in G, f \neq g^{- 1}$ ， $f \cdot g H = f g H$ 同样非子群不具有对称性。只有 $f = g^{- 1}, f \cdot g H = H$ 具有平移对称性， $stab (H)$ 中的群元素都实现了一个 $H$ 到 $H$ 的等变双射。总结一下就是首先 $g^{- 1}$ 移动 $g H$ 到整个陪集族中唯一具有对称性的 $H$ ，然后应用 $stab (H)$ ，最后移动回 $g H$ 。
- 这种平移去、变换、平移回是共轭的一种理解， $g H g^{- 1}$ 被称作 $H$ 的 $g$ -共轭子群。
- 值得注意的是，如果 $H$ 包含共轭对称性，比如 $f \in G, f H f^{- 1} = H$ ，那么 $stab (g H) = g H g^{- 1} = (g f) H (g f)^{- 1} = stab (g f H)$ ，即共轭对称性可以导出一组具有相同稳定子的陪集，上述的推导是充要的，所以可以说共轭对称性平行地决定了所有具有相同稳定子的陪集族，这说明轨道内可以按照稳定子进一步划分陪集。不过我们尚未研究这些 $H$ 的共轭对称性的分布。

应用轨道稳定子定理： $| orb (g H) | = [G : stab (g H)]$ 得到一句废话。

共轭子群族上的共轭作用

$H \leq G$ ，群作用 $φ : G ↷ sub (G), H \mapsto g H g^{- 1}$

$orb (H)$ 就是所有 $H$ 的共轭子群
$stab (H) = {g \in G ∣ g H g^{- 1} = H} = N_{G} (H)$ ， $H$ 在共轭作用下的稳定子的一个别名是 $H$ 的正规化子。
正规性是一种弱于正交性的性质，正交意味着一个方向的任意变换完全无法影响另一个方向，正规意味着一个方向的某个共轭变换保持另一个方向变换结构的整体性（限定了共轭变换和整体性）。

应用轨道稳定子定理 $orb (H) = [G : N_{G} (H)]$ ，即 $H$ 的不同共轭子群数量等于 $H$ 的正规化子在 $G$ 中的指数，正规化子越大，共轭子群越少，每个共轭子群的共轭元素越多

幂集上的左乘作用

推广左正则作用和陪集族上的左乘作用

幂集上的共轭作用

限制到单元素集合上：

$orb (x) = cl (x) = {g x g^{- 1} ∣ g \in G}$
$stab (x) = N_{G} ({x}) = C_{G} (x) = {g \in G ∣ g x g^{- 1} = x}$