静电学的严谨刻画

#physics #electrostatics #mathematical_formulization

前言

本文将从数学上给出静电学的一个严谨刻画。即在承认所有相关物理定理的情况下建立一套完全不基于物理模型的 “完备” 的数学系统来解决全部有限电荷分布的静电学问题。

我发现严谨化地描述 "完备" 并不是十分简单，也不确定所谓 “物理形式系统” 和我们定义的形式系统是否可以用这样的语言来描述，所以一下叙述可能有不当之处。
"完备"意为对于物理形式系统 $P$ 中在存在电势场任意有限电荷分布的模型 $B$ 下逻辑真的公式 $σ$ ，在我们的形式系统 $M$ 中在对应模型 $A = f^{- 1} (B)$ 下 $σ$ 的对应公式 $π^{- 1} (σ)$ 同样也是真的。此处的 “形式系统” 这一词似乎并不是严谨的术语。此外，我们的形式系统 $M$ 应当是一致的。

相对于交大的大学物理教程第四版下册，严谨性有着空前的提升。首先列举若干教材的不严谨处，包括但不限于：

定义电荷密度分布为 $ρ = lim \frac{d q}{d V}$ 并声称 $d V$ 是一个宏观小（刻画该点附近）微观大（包括足够多微观分子）的区域。这完全是在扯淡。
利用点电荷系得电场强度规律导出连续带电体得规律。同样，决定了采用物理模型就注定了离散性，你就没有书写 $d q$ 得资格。
同时考虑物理模型和点电荷模型，导致 ”边界 / 表面“ 的说法不严谨，前者决定了有厚度，后者决定了没有。
极化强度定义为 $P = lim \frac{\sum p}{d V}$ 。

基于种种原因使得追求严谨性就必须舍弃物理模型。

基本定义

核心的刻画：某空间内，给定自由电荷的分布，在静电平衡后（导体的静电感应以及电介质的极化），空间中会产生稳定的电场。电场具有电场强度和电势两种等价的刻画。

我们假定全空间可以被刻画为 $R^{3}$ 且电荷密度分布、电势、电场强度等的取值均在 $R$ 中。我们考虑的空间是 $R^{3}$ 上的一个闭子集 $V$ ，所以我们定义的系统将不适用于电荷存在无限分布的情况（不纳入这种情况因为这会让我们的讨论变得极为复杂，即无法固定选取无穷远点作为零势能点），有界开集的情况可以自然地拓展为闭集。定义电荷分布密度 $ρ : V \to R$ ，用来刻画空间 $V$ 中的某种电荷的分布密度。 $ρ$ 需要满足任意满足 $ρ (U)$ 全非零的 $V$ 的子集 $U$ 都是闭集。

一个带电体在只考虑电学性质的情况下可以刻画为空间中的一个闭子集 $U$ （在使用上 $\partial U$ 通常应当就是物体的外形边界），带电体 $U$ 的带电量刻画为 $q = ∭_{U} ρ (r^{'}) d V$ 。特别的，刻画点电荷是无法在传统函数体系下完成的，我们通过引入广义函数（分布理论）来解决这个问题。所以 $ρ$ 的严谨定义应当是使用分布。不过为了记号的熟悉性我们保持传统函数的写法。

对于仅仅由 $r^{'}$ 处的点电荷构成的电荷分布而言 $ρ (r) = q δ (r - r^{'})$ ，其中 $δ$ 为狄拉克函数。

我们这里的电荷分布密度只考虑了三维的情况，但是有时会出现涉及二维空间的情形，现在给出将二维电荷分布拓展为三维电荷分布的方法（本质上与点电荷的处理相同）：将二维带电体 $S \subseteq R^{2}$ 自然地拓展到 $R^{3}$ 的某处得到 $S^{'} \subseteq R^{3}$ ，将 $S$ 上的电荷面分布 $σ : S^{2} \to R$ （与电荷体分布类似定义）同样自然地拓展为 $σ^{'} : S^{'} \to R$ ，那么 $S^{'}$ 上的电荷体分布可以刻画为 $ρ (r) = ∭_{S^{'}} σ^{'} (r) δ (r - r^{'}) d V$ ，其中 $δ (r)$ 为 $r$ 处的狄拉克函数。

定义电势为 $R^{3}$ 的闭子集 $V$ 内电荷分布密度函数全集 $P (V)$ 到 $V$ 上 $C^{1}$ 类标量场的映射 $ϕ : P (V) \to (V \to R)$ 。电荷密度分布 $ρ$ 下的 $r$ 处的电势记作 $ϕ [ρ] (r)$ ，在电荷密度分布显然时可以简写为 $ϕ (r)$ 。电荷密度分布 $ρ$ 产生的电势标量场记作 $ϕ [ρ]$ 。 $ϕ$ 满足对于任意 $ρ \in P (V)$ 以及任意 $r \in V$ ，成立

ϕ [ρ] (r) = ∭_{V} \frac{ρ (r^{'}) d V}{4 π ε_{0} | r - r^{'} |}

这个形式是为了刻画库仑定律的电势等价形式，实际上这个式子是可以通过麦克斯韦方程组严谨地导出的。

同样，虽然此处是传统函数的写法（积分中若 $r \in V$ 就会出现奇点，所以在传统函数体系下定义域不能写成 $V$ ，只能限制定义域），但是其真正的定义是采用分布标量场。虽然用分布场定义仍然无法保证 $r \in V$ 时 $ϕ [ρ] (r)$ 有意义，但是这保证了其梯度是可求的，进而 $E$ 也是可以作为分布矢量场被定义。

实际上，在传统函数体系中应当要求 $ϕ [ρ]$ 是连续可微 $C^{1}$ 类的矢量场，保证存在散度且散度可以被赋予物理意义。不过在分布理论中任意标量场都可以有对应的梯度。考虑到存在点电荷的情况，这种情况下电场强度和电势势必是会存在奇点，不过即使如此，如果限制定义域的话，仍然是连续函数；而且观察 $ϕ$ 和 $E$ 的形式可以发现它们具有相同的奇点。所以仍然维持连续可微 $C^{1}$ 的限制。

电势叠加定理便可以刻画为电势是一个线性映射，即任意电势 $ϕ$ 和任意电荷密度分布 $ρ_{1}, ρ_{2} \in P (V)$ 有 $ϕ [ρ_{1} + ρ_{2}] = ϕ [ρ_{1}] + ϕ [ρ_{2}]$ 。

定义电场强度为 $R^{3}$ 的闭子集 $V$ 上电荷分布密度函数全集 $P (V)$ 到 $V$ 上向量场的映射： $E : P (V) \to (V \to R^{3})$ 。满足任意 $ρ \in P (V)$ 都有 $E [ρ] = - \nabla ϕ [ρ]$ ，其中 $\nabla$ 是对 $r$ 的矢量微分算子2，其作为梯度算子作用于 $ϕ$ 。 $E$ 具体的表达形式可以通过计算得到

\begin{aligned} E [ρ] (r) & = - \nabla ∭_{V} \frac{ρ (r^{'}) d V}{4 π ε_{0} | r - r^{'} |} \\ = ∭_{V} \nabla (\frac{- ρ (r^{'}) d V}{4 π ε_{0} | r - r^{'} |}) \\ = ∭_{V} \frac{- ρ (r^{'}) d V}{4 π ε_{0}} \cdot \nabla (\frac{1}{| r - r^{'} |}) \\ = ∭_{V} \frac{ρ (r^{'}) d V}{4 π ε_{0}} \cdot \frac{r - r^{'}}{| r - r^{'} |^{3}} \end{aligned}

由于对 $r$ 的梯度算子不影响 $ρ$ 的线性性，所以 $E$ 仍然是一个线性映射，即成立电场强度的叠加定理。

下面给出并证明静电学的高斯定理在我们系统中的等价刻画： $\nabla \cdot E = \frac{ρ}{ε_{0}}$ （它实际上是散度定理的一种特殊情况），证明：对 $E$ 在 $V$ 上应用散度定理

\begin{aligned} \subset \supset \iint_{\partial V} E \cdot d S & = ∭_{V} (\nabla \cdot E) d V \end{aligned}

利用散度算子的性质以及狄拉克函数的筛选性质

\begin{aligned} (\nabla \cdot E) (r) & = \frac{1}{4 π ε_{0}} ∭_{V} ρ (r^{'}) \nabla \cdot (\frac{r - r^{'}}{| r - r^{'} |^{3}}) d V \\ = \frac{1}{4 π ε_{0}} ∭_{V} ρ (r^{'}) 4 π δ^{3} (r - r^{'}) d V \\ = \frac{1}{ε_{0}} ρ (r) \end{aligned}

$◻$

由于我们直接从 $ϕ$ 出发定义了 $E = - \nabla ϕ$ ，所以我们的定义中隐含了 $E$ 是一个无旋场 $\nabla \times E = 0$ 。这是我们系统中对静电学环路定理的等价刻画。另一个等价刻画为对于任意 $V$ 中的闭合路径都有 $\oint_{L} E \cdot d r = 0$ 。

虽然我们的定义都只是 $V$ 上的，但是电荷体密度、电势、电场强度三者都可以以非常自然地形式拓展至全空间。

基本定义的公理化

我们仅仅需要承认 $ϕ$ 的形式和 $ϕ$ 的线性性即可，二者作为公理可以导出 $M$ 中的一切定理。

一个模型可以由 $ρ, V$ 完全确定

"完备" 的证明：物理上的形式系统 $P$ 的语言为 $L_{P}$ ，其任意有限电荷分布模型都满足的理论为 $Th Σ$ ，其中 $Σ$ 为一组物理中成立的定理对应的 $L_{P}$ 中的公式，我们形式系统中任意模型都满足的理论为 $K$ ， $K$ 的公理集合为 $Ax K$ ，我们在基本定义这一节中

建立了我们的形式系统 $M$ 的模型 $A$ （语言 $L_{M}$ 下）在 $L_{P}$ 中一个对应有限电荷分布模型 $B = f (A)$ （ $f$ 是一个双射）下的一个解释 $π$ ，
证明了 $π^{- 1} (Σ) \subseteq K$ 。

进而有 $π^{- 1} (P) = Th (π^{- 1} (Σ)) \subseteq K$ ，也即任意 $P$ 中逻辑真的公式其对应公式在 $M$ 中同样也是逻辑真的。

一致性的一个直观的证明是我们没有在 $K$ 中添加 $π^{- 1} (Σ)$ 以外的公式。

简化导体静电感应和介质极化的处理

在上一节中我们定义了 $ρ$ 所产生的电场强度和电势。在实际应用中，这个 $ρ$ 需要视为自由电荷分布（经过静电感应之后的）与束缚电荷分布（经过介质极化之后的）之和。这样是可以直接应用的。不过束缚电荷是存在简化的空间的（因为我们通常已知介质的介电常数而不知道介质的束缚电荷密度分布，如果能在各定理中直接建立介质的介电常数与电场强度、电势之间的关系就可以简化）。

可以建立一个新的简化的形式系统 $M^{'}$ ， $M^{'}$ 中的模型可以由 $V, ρ_{f}, P$ 唯一确定，其中 $ρ_{f}$ 为自由电荷密度分布， $P$ 为极化强度。 $M^{'}$ 与 $M$ 的对应模型之间是存在相互的解释的。

我们只考虑，此时 $P$ 是一个无旋场。否则 $P$ 将成为一个有旋场，这是无法与 $M$ 兼容的，需要一个全新的模型。

定义极化强度是一个 $V$ 上连续可微 $C^{1}$ 类（保证存在散度，且散度可以被赋予物理意义）的矢量场 $P : V \to R^{3}$ ，需要满足任意满足 $P (U)$ 全非零的 $V$ 的子集 $U$ 部分都是闭集（所有介质都视为闭集）。其用于刻画区域 $V$ 上介质的极化情况，如果此处没有介质则为 $0$ 。定义电位移矢量 $D = ε_{0} E + P$ 。 $E$ 与 $ϕ$ 的定义与之前的相同

接下来建立 $M^{'}$ 的模型到 $M$ 对应模型的解释：

定义介质为 $V$ 的子集 $U$ ，满足 $P (U)$ 任意处非零。所有的介质构成集合 $U$ 。定义最大介质 $U_{m}$ 为 ${x \in V ∣ P (x) \neq 0}$ 。

定义束缚电荷面密度为最大介质的边界到 $R$ 的映射 $σ_{b} : \partial U_{m} \to R$ ，其自然拓展的束缚电荷面密度分布的体密度分布形式为 $ρ_{b}^{e x}$ 。对于任意 $r \in \partial U_{m}$ ， $r$ 在处的法向量为 $e_{n}$ （需要保证法向量存在，即还需要限定 $\partial U_{m}$ 是正则曲面。但是有时似乎在有限个奇点存在时没有影响。鸽了，总之都是限制一下 $U_{m}$ 的事）我们有 $P \cdot e_{n} = σ_{b}$ 。

定义束缚电荷体密度为最大介质的内部 $int (U_{m})$ 到 $R$ 的映射 $ρ_{b} : int (U_{m}) \to R$ 。对于任意 $r \in int (U_{m})$ ，都有 $ρ_{b} = - \nabla \cdot P$ 。

实际上，与 $M$ 更加统一的定义应将这两者定义为定义域为全体极化强度上的映射，不过此处为了记号的简便性使用了简化的定义。或者更加激进地，反过来用 $ρ_{b}$ 和 $ρ_{b}^{e x}$ 定义 $P$ 。

取 $ρ_{t o t a l} = ρ_{f r e e} + ρ_{b}^{e x} + ρ_{b}$ 就可以作为 $M$ 的 $ρ$ 了，其中 $ρ_{b}^{e x}$ 和 $ρ_{b}$ 的定义域需要进行自然的拓展。各定理在 $M^{'}$ 中的形式不涉及 $ρ$ 而是使用 $P, ρ_{b}^{e x}, ρ_{b}, D$ 等来进行等价地表示，比如高斯定理被表示为 $∯_{\partial V} D \cdot d S = ∭_{V} ρ_{f} d$ ，其余略。等价性证明也略，都是平凡的。

特别地，介质是各向同性、线性、均匀的电介质中情况， $P = χ_{e} ε_{0} E$ ，以上的表达式又可以得到或多或少的化简。

反过来的情况是类似的。

$M$ 中公理的物理学基础

这一部分在尝试从 $P$ 中导出 $M$ 中公理之一 $ϕ$ 的形式的正确性（叠加定理的正确性是显然的）。

定义静电系统 $(ρ, V)$ 是一个赋予了电荷分布 $ρ$ 的三维空间的闭子集 $V$ 二者构成的二元组。这是对物理中一个瞬时静电状态的 "静电系统" 的数学刻画。

$Theorem 1$ ：一个静电系统可以唯一确定一个物理上的瞬时静电状态的 "静电系统"，即以上数学定义从物理上来说是良定义的。

$Proof$ ：这个定理的推导，如前言所述，是建立在承认所有静电学物理定理的前提下的。考虑麦克斯韦方程组的基本形式

\begin{aligned} (1) & \nabla \cdot E & = \frac{ρ}{ε_{0}} \\ (2) & \nabla \cdot B & = 0 \\ (3) & \nabla \times E & = - \frac{\partial B}{\partial t} \\ (4) & \nabla \times B & = μ_{0} J + μ_{0} ε_{0} \frac{\partial E}{\partial t} \end{aligned}

这是未包含介质的形式，我们将从这个基本形式出发，在数学系统中处理介质的情况。即这个公式中的 $ρ$ 是总电荷密度，包括自由电荷密度（静电感应作用之后）和束缚电荷密度（介质极化之后），即 $ρ = ρ_{free} + ρ_{bound}$ 。

以上的电场强度是物理意义下的。

静电平衡满足以下三个条件

所有电荷都静止不动，此时有 $J = 0$
电场和磁场都不随时间变化，即 $\frac{\partial E}{\partial t} = 0$ 以及 $\frac{\partial B}{\partial t} = 0$

这个条件实际上是过强的，在电荷瞬时速度为零但是并不平衡时同样满足 $J = 0$ 。但是此时我们需要做另外一个假设：所有静电感应和介质极化均已经被完成。考虑到电磁场的传播速度为光速，在大多数情况下这样的假设是合理的。形式上来说，瞬时静电状态定义为：

所有电荷瞬时速度为零，即 $J = 0$
电场和磁场不随时间变化，，即 $\frac{\partial E}{\partial t} = 0$ 和 $\frac{\partial B}{\partial t} = 0$
假设所有静电感应和介质极化均已经完成，即 $ρ_{bound}$ 是由初始自由电荷 $ρ_{initial}$ 分布经过介质极化得到的，以及 $ρ_{free}$ 是由初始自由电荷分布经过静电感应得到的。

在瞬时静电状态下，麦克斯韦方程组的 $(3)$ 可以化为 $\nabla \times E = 0$ ， $(4)$ 可以化为 $\nabla \times B = 0$ 。

因为我们的电荷分布区域 $V$ 是有界的，根据库仑定律和电荷叠加定律（如果都假定这个了岂不是可以直接给出 $E$ 的表达式吗？实际上我们仅仅需要库仑定律的一个弱形式），有 $| E (r) | = O (\frac{1}{| r |^{1 + ϵ}}), r \to \infty, ϵ > 0$ ，根据 $R^{3}$ 全空间上的 Helmholtz 定理，存在唯一的矢量场 $A$ 和唯一的标量场 $ϕ$ 使得 $E = - \nabla ϕ + \nabla \times A$ ，且 $A (r) = \frac{1}{4 π} \int_{R^{3}} \frac{\nabla^{'} \times E (r^{'}) d^{3} r^{'}}{| r - r^{'} |}$ 。从而 $E$ 可以被唯一确定。

由于 $\nabla \times E = 0$ 得到 $A = 0$ ，从而 $E = - \nabla ϕ$ 。选定零势能点后 $ϕ$ 可以唯一确定。

$ϕ, E$ 都被唯一确定，所以 $(ρ, V)$ 可以确定一个在瞬时静电状态下的的静电学物理状态。 $◻$

$Theorem 2$ ：以上被唯一确定的 $ϕ$ 和 $E$ 分别具有如下形式：

\begin{aligned} ϕ (r) & = ∭_{V} \frac{ρ (r^{'}) d V}{4 π ε_{0} | r - r^{'} |} \\ E (r) & = ∭_{V} \frac{ρ (r^{'}) d V}{4 π ε_{0}} \cdot \frac{r - r^{'}}{| r - r^{'} |^{3}} \end{aligned}

$Proof$ ：关于 $E, ϕ$ 的形式，本质上可以归结于求解泊松方程 $\nabla^{2} ϕ = - \frac{ρ}{ε_{0}}$ 在边界条件 $ϕ \to 0, r \to \infty$ 下的解，利用 $E = - \nabla ϕ$ 即可从 $ϕ$ 得到 $E$ 。下面求解泊松方程。

我们采用格林函数方法，将电荷密度函数改写 $ρ (r) = ∭_{V} ρ (r^{'}) δ (r - r^{'}) d V$ ，依据方程的线性性有 $ϕ (r) = ∭_{V} ϕ_{r^{'}} (r) d V$ 其中 $\nabla^{2} ϕ_{r^{'}} (r) = - \frac{ρ (r^{'}) δ (r - r^{'})}{ε_{0}}$ 。
格林函数 $G (r, r^{'})$ 定义为方程 $\nabla^{2} G (r, r^{'}) = - 4 π δ (r - r^{'})$ 的解，在三维无界空间中有 $G (r, r^{'}) = \frac{1}{| r - r^{'} |}$ 。
对比可知 $ϕ_{r^{'}} (r) = \frac{ρ (r^{'})}{4 π ε_{0}} \cdot \frac{1}{| r - r^{'} |}$ ，从而 $ϕ (r) = \frac{∭_{V} ρ (r^{'}) d V}{4 π ε_{0} | r - r^{'} |}$ 。

关于格林函数在三维无界空间中的形式有很多求解方法

利用球对称性在球坐标系中求出 $G (r) = - \frac{A}{r}, r > 0$ ，然后利用散度定理取 $V$ 内以原点为球心的充分小的球面求出 $A = - 1$ 。
直接证明 $\frac{1}{| r - r^{'} |}$ 的唯一性，假设存在两个解，它们的差 $H$ 满足拉普拉斯方程 $\nabla^{2} H = 0$ ，然后利用拉普拉斯方程的极值原理：非常函数 $H$ 不可能在区域 $V$ 的内部 $int (V)$ 取得严格的最大值或最小值。由于 $H$ 在整个 $R^{3}$ 满足拉普拉斯方程，这是一个开集，从而 $H$ 只能是常数函数。由边界条件可以知道 $H$ 为零函数，矛盾，从而解是唯一的。
傅里叶变换。由平移不变性，不妨取 $r^{'} = 0$ 。取频率为 $k$ ，对 $\nabla^{2} G (r, 0) = - 4 π δ (r - r^{'})$ 两侧同时傅里叶变换得到 $- 4 π^{2} k^{2} \hat{G} (k) = - 4 π$ ，其中 $\hat{G} (k)$ 为 $G (r) = G (r, 0)$ 的频率为 $k$ 傅里叶变换 $\hat{G} (k) = ∭_{R^{3}} G (r) e^{2 π i k \cdot r} d^{3} r$ 。对 $\hat{G} (k) = \frac{1}{π k^{2}}$ 进行逆变换 $G (r) = ∭_{R^{3}} \hat{G} (k) e^{2 π i r \cdot k} d^{3} k$ ，考虑用球坐标系表示 $k = (θ, φ, k), θ \in [0, 2 π), φ \in [0, π], k \in [0, \infty)$ ，且满足 $k \cdot r = r k \cos φ$ ，从而 $G (r) = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π} \frac{1}{π k^{2}} \cdot e^{2 π i r k \cos φ} \cdot k^{2} \sin φ d φ d θ d k = \frac{2}{π r} \int_{0}^{\infty} \frac{\sin (2 π k r)}{2 π k} d (2 π k) = \frac{1}{r}$ ，其中使用了狄利克雷积分 $\int_{0}^{\infty} \frac{\sin (x)}{x} d x = \frac{π}{2}$ 。

前言

基本定义

基本定义的公理化

简化导体静电感应和介质极化的处理

M 中公理的物理学基础

$M$ 中公理的物理学基础