拓扑学杂记

这是一篇在探索命题逻辑紧致性定理中对学到的一些拓扑学知识的杂记，是非系统性的，而且包含了一些关于形象性理解的叙述。

拓扑学的三大分支为点集拓扑、几何拓扑和代数拓扑，本文仅仅涉及点集拓扑。

”族“ 这个称呼可以有两种含义，为什么说是称呼呢

集合族。以集合为元素的集合。在公理集合论中，不存在元素这一概念。所以以上叙述是建立在日常集合论上的。

索引结构：
索引结构是一个三元组 $(I, X, f)$ ，集合 $I$ 被称为指标集，集合 $X$ 被称为目标集， $f : I \to X$ 被称为索引函数。索引族是一个 $X$ 的一个子集，被记作 ${x_{i}}_{i \in I}$ ， ${x_{i}}_{i \in I} = {x \in X ∣ i \in I, f (i) = x}$ 。

拓扑：
$X$ 是一个非空集合，一个拓扑（Topology） $τ$ 是 $X$ 的一个子集族（即 $τ \subseteq P (X)$ ），满足

$\emptyset \in τ$ 且 $X \in τ$
关于任意并封闭：对于 $τ$ 的子集族 ${U_{i}}_{i \in I}$ ，其中 $I$ 是 $τ$ 的任意指标集，有 $⋃_{i \in I} U_{i} \in τ$ 。
关于有限交封闭：对于 $τ$ 的子集族 ${U_{i}}_{i \in I}$ ，其中 $I$ 是 $τ$ 的任意有限指标集，有 $⋂_{i \in I} U_{i} \in τ$ 。

拓扑空间：
非空集合 $X$ 以及 $X$ 的一个拓扑 $τ$ 构成的二元组 $(X, τ)$ 称为拓扑空间（Topological Space）。不关注 $τ$ 时可以简称为 $X$ 。

开集：
拓扑空间 $(X, τ)$ 上的所有开集由 $τ$ 给出。

开集的核心直觉是：如果一个点在一个开集里，那么其 "附近" “足够近” 的点也在这个开集内。

注意开集的定义是一个递归定义而不是直接定义。一个开集是由一组 “基” 经过递归规则生成得到的。相关的概念定义如下

基：称 $X$ 的开集族 $B$ 是 $τ$ 的基，当且仅当任意 $U \in τ$ 都存在 $B$ 的一个指标集使得 $U = ⋃_{B \in B^{'}} B$ 。另一个等价定义 $B$ 为满足覆盖性（ $X = ⋃_{B \in B} B$ ）和封闭于有限交的 $X$ 的开集族，且 $τ$ 是由 $B$ 生成的拓扑。这两个定义的等价性证明略。
子基：称 $X$ 的开集族 $S$ 是 $τ$ 的子基，当且仅当

闭集：
拓扑空间 $(X, τ)$ 上的所有开集的补集构成所有闭集。

根据拓扑的性质可以得到闭集的性质：

关于任意交封闭
关于有限并封闭

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